В чем измеряется жесткость в физике. Как найти коэффициент жёсткости пружины: формула, определение. Примеры задач на нахождение жесткости

Сила упругости — это та сила, которая возникает при деформации тела и которая стремится восстановить прежние форму и размеры тела.

Сила упругости возникает в результате электромагнитного взаимодействия между молекулами и атомами вещества.

Самый простой вариант деформации можно рассмотреть на примере сжатия и растяжения пружины.

На данном рисунке (x > 0) — деформация растяжения; (x < 0) — деформация сжатия. (Fx) — внешняя сила.

В том случае, когда деформация самая незначительная, т.е малая, сила упругости направлена в сторону, которая является противоположной по направлению перемещающихся частиц тела и пропорциональна деформации тела:

Fx = Fупр = - kx

С помощью данного соотношения выражен закон Гука, который был установлен экспериментальным методом. Коэффициент k принято называть жесткостью тела. Жесткость тела измеряется в ньютонах на метр (Н/м) и зависит от размеров и формы тела, а также от того, из каких материалов состоит данное тело.

Закон Гука в физике для определения деформации сжатия или растяжения тела записывают совершенно в другой форме. В данном случае относительной деформацией называется


Роберт Гук

(18.07.1635 - 03.03.1703)

Английский естествоиспытатель, учёный-энциклопедист

отношение ε = x / l . В то же время напряжением называется площадь поперечного сечения тела после относительной деформации:

σ = F / S = -Fупр / S

В данном случае закон Гука формулируют так: напряжению σ пропорциональна относительная деформация ε . В данной формуле коэффициент Е называют модулем Юнга. Данный модуль не зависит от формы тела и его размеров, но в то же время, напрямую зависит от свойств материалов, из которого состоит данное тело. Для различных материалов модуль Юнга колеблется в достаточно широком диапазоне. Например, для резины E ≈ 2·106 Н/м2, а для стали E ≈ 2·1011 Н/м2 (т.е. на пять порядков больше).

Вполне допустимо обобщить закон Гука и в тех случаях, когда совершаются более сложные деформации. Например, рассмотрим деформацию изгиба. Рассмотрим стержень, который лежит на двух опорах и имеет существенный прогиб.

Со стороны опоры (или подвеса) на данное тело действует упругая сила, это сила реакции опоры. Сила реакции опоры при соприкосновении тел будет направлена к поверхности соприкосновения строго перпендикулярно. Такую силу принято называть силой нормального давления.

Рассмотрим второй вариант. Путь тело лежит на неподвижном горизонтальном столе. Тогда реакции опоры уравновешивает силу тяжести и направлена она вертикально вверх. Причем весом тела считают силу, с которой тело воздействует на стол.

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров . Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая . Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука :

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей . Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

  1. Динамометр является...
  2. Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается...
  3. Явлением деформации тел называют...
  4. Пластически деформированным мы назовём тело, ...
  5. В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, ...
  6. Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, ...
  7. Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только...
  8. Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, ...
  9. Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что...
  10. Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что...
  11. По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа...
  12. Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, ...
  13. В результате выражения величины «k» мы...
  14. Ещё из математики начальной школы мы знаем, что...
  15. Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он...

Чем большей деформации подвергается тело, тем значительней в нем возникает сила упругости. Это значит, что деформация и сила упругости взаимосвязаны, и по изменению одной величины можно судить об изменении другой. Так, зная деформацию тела, можно вычислить возникающую в нем силу упругости. Или, зная силу упругости, определить степень деформации тела.

Если к пружине подвешивать разное количество гирек одинаковой массы, то чем больше их будет подвешено, тем сильнее пружина растянется, то есть деформируется. Чем больше растянута пружина, тем большая в ней возникает силы упругости. Причем опыт показывает, что каждая следующая подвешенная гирька увеличивает длину пружины на одну и туже величину.

Так, например, если исходная длина пружины была 5 см, а подвешивание на ней одной гирьки увеличило ее на 1 см (т. е. пружина стала длиной 6 см), то подвешивание двух гирек увеличит ее на 2 см (общая длина составит 7 см), а трех - на 3 см (длина пружины будет 8 см).

Еще до опыта известно, что вес и возникающая под его действием сила упругости находятся друг с другом в прямопропорциональной зависимости. Кратное увеличение веса во столько же раз увеличит силу упругости. Опыт же показывает, что деформация точно также зависит от веса: кратное увеличение веса во столько же раз увеличивает изменения в длине. Это значит, что, исключив вес, можно установить прямопропорциональную зависимость между силой упругости и деформацией.

Если обозначить удлинение пружины в результате ее растяжения как x или как ∆l (l 1 – l 0 , где l 0 - начальная длина, l 1 - длина растянутой пружины), то зависимость силы упругости от растяжения можно выразить такой формулой:

F упр = kx или F упр = k∆l, (∆l = l 1 – l 0 = x)

В формуле используется коэффициент k . Он показывает, в какой именно зависимости находятся сила упругости и удлинение. Ведь удлинение на каждый сантиметр может увеличивать силу упругости одной пружины на 0,5 Н, второй на 1 Н, а третьей на 2 Н. Для первой пружины формула будет выглядеть как F упр = 0,5x, для второй - F упр = x, для третьей - F упр = 2x.

Коэффициент k называют жесткостью пружины. Чем жестче пружина, тем труднее ее растянуть, и тем большее значение будет иметь k. А чем больше k, тем больше будет сила упругости (F упр) при равных удлинения (x) разных пружин.

Жесткость зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее формы и размеров.

Единицей измерения жесткости является Н/м (ньютон на метр). Жесткость показывает, сколько ньютонов (сколько сил) надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 м. Или насколько метров растянется пружина, если приложить для ее растяжения силу в 1 Н. Например, к пружине приложили силу в 1 Н, и она растянулась на 1 см (0,01 м). Это значит, что ее жесткость равна 1 Н / 0,01 м = 100 Н/м.

Также, если обратить внимание на единицы измерения, то станет понятно, почему жесткость измеряется в Н/м. Сила упругости, как и любая сила, измеряется в ньютонах, а расстояние - в метрах. Чтобы уровнять по единицам измерения левую и правую части уравнения F упр = kx, надо в правой части сократить метры (то есть поделить на них) и добавить ньютоны (то есть умножить на них).

Соотношение между силой упругости и деформацией упругого тела, описываемое формулой F упр = kx, открыл английский ученый Роберт Гук в 1660 году, поэтому это соотношение носит его имя и называется законом Гука .

Упругой деформацией является такая, когда после прекращения действия сил, тело возвращается в свое исходное состояние. Бывают тела, которые почти нельзя подвергнуть упругой деформации, а у других она может быть достаточно большой. Например, поставив тяжелый предмет на кусок мягкой глины, вы измените его форму, и этот кусок сам уже не вернется в исходное состояние. Однако если вы растяните резиновый жгут, то после того, как отпустите его, он вернет свои исходные размеры. Следует помнить, что закон Гука применим только для упругих деформаций.

Формула F упр = kx дает возможность по известным двум величинам вычислять третью. Так, зная приложенную силу и удлинение, можно узнать жесткость тела. Зная, жесткость и удлинение, найти силу упругости. А зная силу упругости и жесткость, вычислить изменение длины.

Формула жесткости пружины - едва ли не самый важный момент в теме об этих упругих элементах. Ведь именно жесткость играет очень важную роль в том, благодаря чему эти комплектующие используются так широко.

Сегодня без пружин не обходится практически ни одна отрасль промышленности, они используются в приборо- и станкостроении, сельском хозяйстве, производстве горно-шахтного и железнодорожного оборудования, энергетике, других отраслях. Они верой и правдой служат в самых ответственных и критических местах различных агрегатов, где требуются присущие им характеристики, в первую очередь жесткость пружины, формула которой в общем виде очень проста и знакома детям еще со школы.

Особенности работы

Любая пружина представляет собой упругое изделие, которое в процессе эксплуатации подвергается статическим, динамическим и циклическим нагрузкам. Основная особенность этой детали - она деформируется под приложенным извне усилием, а когда воздействие прекращается - восстанавливает свою первоначальную форму и геометрические размеры. В период деформации происходит накопление энергии, при восстановлении - ее передача.

Именно это свойство возвращаться к исходному виду и принесло широкое распространение этим деталям: они отличные амортизаторы, элементы клапанов, предупреждающие превышение давления, комплектующие для измерительных приборов. В этих и других ситуациях, благодаря умению упруго деформироваться, они выполняют важную работу, поэтому от них требуется высокое качество и надежность.

Виды пружин

Видов этих деталей существует много, самыми распространенными являются пружины растяжения и сжатия.

  • Первые из них без нагрузки имеют нулевой шаг, то есть виток соприкасается с витком. В процессе деформации они растягиваются, их длина увеличивается. Прекращение нагрузки сопровождается возвращением в первоначальную форму - опять витком к витку.
  • Вторые - наоборот, изначально навиваются с определенным шагом между витками, под нагрузкой сжимаются. Соприкосновение витков является естественным ограничителем для продолжения воздействия.

Изначально именно для пружины растяжения было найдено соотношение массы подвешенного на ней груза и изменения ее геометрического размера, которое и стало основой для формулы жесткости пружины через массу и длину.

Какие еще бывают виды пружин

Зависимость деформации от прилагаемой внешней силы справедлива и для других видов упругих деталей: кручения, изгиба, тарельчатых, других. Не важно, в какой плоскости к ним прилагаются усилия: в той, где расположена осевая линия, или перпендикулярной к ней, производимая деформация пропорциональна усилию, под воздействием которого она произошла.

Основные характеристики

Независимо от вида пружин, особенности их работы, связанные с постоянно деформацией, требуют наличия таких параметров:

  • Способности сохранять постоянное значение упругости в течение заданного срока.
  • Пластичности.
  • Релаксационной стойкости, благодаря которой деформации не становятся необратимыми.
  • Прочности, то есть способности выдерживать различные виды нагрузок: статические, динамические, ударные.

Каждая из этих характеристик важна, однако при выборе упругой комплектующей для конкретной работы в первую очередь интересуются ее жесткостью как важным показателем того, подойдет ли она для этого дела и насколько долго будет работать.

Что такое жесткость

Жесткость - это характеристика детали, которая показывает, просто или легко будет ее сжать, насколько большую силу нужно для этого приложить. Оказывается, что возникающая под нагрузкой деформация тем больше, чем больше прилагаемая сила (ведь возникающая в противовес ей сила упругости по модулю имеет то же значение). Потому определить степень деформации можно, зная силу упругости (прилагаемое усилие) и наоборот, зная необходимую деформацию, можно вычислить, какое требуется усилие.

Физические основы понятия жесткость/упругость

Сила, воздействуя на пружину, изменяет ее форму. Например, пружины растяжения/сжатия под влиянием внешнего воздействия укорачиваются или удлиняются. Согласно закону Гука (так называется позволяющая рассчитать коэффициент жесткости пружины формула), сила и деформация между собой пропорциональны в пределах упругости конкретного вещества. В противодействие приложенной извне нагрузке возникает сила, такая же по величине и противоположная по знаку, которая направлена на восстановление исходных размеров детали и ее форму.

Природа этой силы упругости - электромагнитная, возникает она как следствие особого взаимодействии между структурными элементами (молекулами и атомами) материала, из которого изготовлена данная деталь. Таким образом, чем жесткость больше, то есть чем труднее упругую деталь растянуть/сжать, тем больше коэффициент упругости. Этот показатель используется, в частности, при выборе определенного материала для изготовления пружин для использования в различных ситуациях.

Как появился первый вариант формулы

Формула для расчета жесткости пружины, которая получила название закона Гука, была установлена экспериментально. В процессе опытов с подвешенными на упругом элементе грузами разной массы замерялась величина его растяжения. Так и выяснилось, что одна и та же испытуемая деталь под разными нагрузками претерпевает различные деформации. Причем подвешивание определенного количества гирек, одинаковых по массе, показало, что каждая добавленная/снятая гирька увеличивает/уменьшает длину упругого элемента на одинаковую величину.

В итоге этих экспериментов появилась такая формула: kx=mg, где k - некий постоянный для данной пружины коэффициент, x - изменение длины пружины, m - ее масса, а g - ускорение свободного падения (примерное значение - 9,8 м/с²).

Так было открыто свойство жесткости, которое, как и формула для определения коэффициента упругости, находит самое широкое применение в любой отрасли промышленности.

Формула определения жесткости

Изучаемая современными школьниками формула, как найти коэффициент жесткости пружины, представляет собой соотношение силы и величины, показывающей изменение длины пружины в зависимости от величины данного воздействия (или

равной ему по модулю силы упругости). Выглядит эта формула так: F = -kx. Из этой формулы коэффициент жесткости упругого элемента равен отношению силы упругости к изменению его длины. В международной системе единиц физических величин СИ он измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

Другой вариант записи формулы: коэффициент Юнга

Деформация растяжения/сжатия в физике также может описываться несколько видоизмененным законом Гука. Формула включает значения относительной деформации (отношения изменения длины к ее начальному значению) и напряжения (отношения силы к площади поперечного сечения детали). Относительная деформация и напряжение по этой формуле пропорциональны, а коэффициент пропорциональности - величина, обратная модулю Юнга.

Модуль Юнга интересен тем, что определяется исключительно свойствами материала, и никак не зависит ни от формы детали, ни от ее размеров.

К примеру, модуль Юнга для ста

ли примерно равен единице с одиннадцатью нулями (единица измерения - Н/кв. м).

Смысл понятия коэффициент жесткости

Коэффициент жесткости - коэффициент пропорциональности из закона Гука. Еще он с полным правом называется коэффициентом упругости.

Фактически он показывает величину силы, которая должна быть приложена к упругому элементу, чтобы изменить его длину на единицу (в используемой системе измерений).

Значение этого параметра зависит от нескольких факторов, которыми характеризуется пружина:

  • Материала, используемого при ее изготовлении.
  • Формы и конструктивных особенностей.
  • Геометрических размеров.

По этому показателю можно сд

елать вывод, насколько изделие устойчиво к воздействию нагрузок, то есть каким будет его сопротивление при приложении внешнего воздействия.

Особенности расчета пружин

Показывающая, как найти жесткость пружины, формула, наверное, одна из наиболее используемых современными конструкторами. Ведь применение эти упругие детали находят практически везде, то есть требуется просчитывать их поведение и выбирать те из них, которые будут идеально справляться с возложенными обязанностями.

Закон Гука весьма упрощенно показывает зависимость деформации упругой детали от прилагаемого усилия, инженерами используются более точные формулы расчета коэффициента жесткости, учитывающие все особенности происходящего процесса.

Например:

  • Цилиндрическую витую пружину современная инженерия рассматривает как спираль из проволоки с круглым сечением, а ее деформация под воздействием существующих в системе сил представляется совокупностью элементарных сдвигов.
  • При деформации изгиба в качестве деформации рассматривается прогиб стержня, расположенного концами на опорах.

Особенности расчета жесткости соединений пружин

Важный моментом является расчет нескольких упругих элементов, соединенных последовательно или параллельно.

При параллельном расположении нескольких деталей общая жесткость этой системы определяется простой суммой коэффициентов отдельных комплектующих. Как нетрудно заметить, жесткость системы больше, чем отдельной детали.

При последовательном расположении формула более сложная: величина, обратная суммарной жесткости, равна сумме величин, обратных к жесткости каждой комплектующей. В этом варианте сумма меньше слагаемых.

Используя эти зависимости, легко определиться с правильным выбором упругих комплектующих для конкретного случая.

При воздействии внешних сил тела способны приобретать ускорения или деформироваться. Деформацией называют изменение размеров и (или) формы тела. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Пусть на пружину на рис.1 действует растягивающая сила, направленная вертикально вниз.

При воздействии деформирующей силы ($\overline{F}$) длина пружины увеличивается. В пружине возникает сила упругости (${\overline{F}}_u$), которая уравновешивает деформирующую силу. Если деформация небольшая и упругая, то удлинение пружины ($\Delta l$) пропорционально деформирующей силе:

\[\overline{F}=k\Delta l\left(1\right),\]

где в качестве коэффициента пропорциональности выступает жесткость пружины $k$. Коэффициент $k$ называют также коэффициентом упругости, коэффициентом жесткости. Жесткость (как свойство) характеризует упругие свойства тела, подвергаемого деформации - это возможность тела оказывать противодействие внешней силе, сохранять свои геометрические параметры. Коэффициент жесткости является основной характеристикой жесткости.

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее геометрических характеристик. Так, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси вычисляется при помощи формулы:

где $G$ -модуль сдвига (величина зависящая от материала); $d$ - диаметр проволоки; $d_p$ - диаметр витка пружины; $n$ - количество витков пружины.

Единицы измерения жесткости пружины

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

\[\left=\left[\frac{F_{upr\ }}{x}\right]=\frac{\left}{\left}=\frac{Н}{м}.\]

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Жесткость соединений пружин

При последовательном соединении $N$ пружин жесткость соединения вычисляется при помощи формулы:

\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\dots =\sum\limits^N_{\ i=1}{\frac{1}{k_i}\left(2\right).}\]

Если пружины соединены параллельно, то результирующая жесткость равна:

Примеры задач на жесткость пружин

Пример 1

Задание. Какова потенциальная энергия ($E_p$) деформации системы из двух параллельно соединенных пружин (рис.2), если их жесткости равны: $k_1=1000\ \frac{Н}{м}$; $k_2=4000\ \frac{Н}{м}$, а удлинение составляет $\Delta l=0,01$ м.

Решение. При параллельном соединении пружин жесткость системы вычислим как:

Потенциальную энергию деформированной системы вычислим при помощи формулы:

Вычислим искомую потенциальную энергию:

Ответ. $E_p=0,\ 25$ Дж

Пример 2

Задание. Чему равна работа ($A$) силы растягивающей систему из двух последовательно соединенных пружин, имеющих жесткости $k_1=1000\ \frac{Н}{м}\ \ и$ $k_2=2000\ \frac{Н}{м}$, если удлинение второй пружины составляет $\Delta l_2=0,\ 1\ м$?

Решение. Сделаем рисунок.

При последовательном соединении пружин на каждую из них действует одна и та же деформирующая сила ($\overline{F}$), используя этот факт и закон Гука найдем удлинение первой пружины:

Работа силы упругости при растяжении первой пружины, равна:

Учитывая полученное в (2.1) удлинение первой пружины имеем:

Работа второй силы упругости:

Работа силы, которая растягивает систему пружин в целом, будет найдена как:

Подставим правые части выражений (2.3) и (2.4) в формулу (2.5), получаем:

Вычислим работу:

\[А=\frac{2000\cdot {({10}^{-1})}^2}{2\cdot 1000}\left(2000+1000\right)=30\ \left(Дж\right).\]

Ответ. $А$=30 Дж

 

Возможно, будет полезно почитать: